Теорема Пойнтинга

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,$

где $u$ — плотность энергии: $u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right)$;

$\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная, $\mu _{0}$ — магнитная постоянная;

$\nabla$ — оператор набла; S — вектор Пойнтинга;

J — плотность тока и E — напряженность электрического поля.

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}u\ dV+\oint _{\partial V}\mathbf {S} \ d\mathbf {A} =-\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \ dV$,

где $\partial V$ — поверхность, ограничивающая объём $V$ .

В технической литературе теорема обычно записывается так ($u$ — плотности энергии):

$\nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0$,

где $\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ — плотность энергии электрического поля, ${\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ — плотность энергии магнитного поля и $\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$ — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Домножив обе части уравнения на $\mathbf {B}$, получим:

$\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Домножив обе части уравнения на $\mathbf {E}$, получим:

$\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Вычитая первое из второго, получим:

$\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Наконец:

$-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Поскольку вектор Пойнтинга $\mathbf {S}$ определяется как:

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

это равносильно:

$\nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.$

Обобщение

Механическая энергия описанной выше теоремы

${\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),$

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

$u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),$

$\mathbf {S_{m}}$ — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

$\mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).$

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,$

Альтернативные формы

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока $\mathbf {S} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B}$ можно выбрать форму Авраама $\mathbf {E} \times \mathbf {H}$, форму Минковского $\mathbf {D} \times \mathbf {B}$, или какую-либо другую.